摘要:在數(shù)學(xué)備考的過程中,我們大都會把自己沉浸習(xí)題的海洋里,做題,查答案,做題,查答案,如此反復(fù),不免枯燥。于是,小編找來一些有趣的
作者
戰(zhàn)地黃花
摘要:在數(shù)學(xué)備考的過程中,我們大都會把自己沉浸習(xí)題的海洋里,做題,查答案,做題,查答案,如此反復(fù),不免枯燥。于是,小編找來一些有趣的數(shù)學(xué)小題目,快利用你的碎片時間來挑戰(zhàn)一下吧。
1、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)有界,{xn}為一數(shù)列。下面命題正確的是( )
A、若{xn}收斂,則{f(xn}收斂。
B、若{xn}單調(diào),則{f(xn)}收斂。
C、若{f(xn)收斂,則{xn}收斂。
D、若{f(xn)}單調(diào),則{xn}收斂。
解題思路
?。?)——(C)(D)都不對的關(guān)鍵在于:在本題條件下,就算相應(yīng)的函數(shù)值列收斂或單調(diào),自變量列xn可以是趨向正無窮的,沒有極限。
?。?)——(A)情形只知道自變量列xn收斂,它可能不是單調(diào)的。
單調(diào)的函數(shù)不一定連續(xù)。且,“如果單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)x0間斷,則只能是跳躍間斷。”(實(shí)際上,如果函數(shù)在x0的左右極限相等,則f(x0)只能等于極限值,否則就破壞了單調(diào)性。)
設(shè)想xn既有子列從左邊,又有子列從右邊趨向點(diǎn)x0,則自變量列收斂于點(diǎn)x0而相應(yīng)的函數(shù)值列卻不收斂。故(A)錯。
反例:x小于0時f=x,f(0)=1,x大于0時f=2+x
?。?)——(B)對。在本題條件下,若自變量列單調(diào),相應(yīng)的函數(shù)值列必定也單調(diào)。且是有界的。
2、f(x)在[a,b]上可微,且f‘(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加,又f(a)=f(b)=A(常數(shù)),證明,在(a,b)內(nèi),恒有f(x)<A.
解題思路
這是個運(yùn)用“構(gòu)造法”的好題。
f(x)在[a,b]上可微,自然連續(xù)。f(a)=f(b)=A,故由洛爾定理,(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)c,f′(c)=0
已知f′(x)單增,故零點(diǎn)唯一。且在(a,c)內(nèi)f′(x)<0,f(x)單減,f(x)<f(a)
而在(c,b)內(nèi)f′(x)>0,f(x)單增,f(x)<f(b)
從而在(a,b)內(nèi),恒有f(x)<A.
3、計算極限小總結(jié)
?。?)非零的因式先求極限。
?。?)0/0型未定式題目的兩個主要類型——
分子(或分子分母各)是“等價無窮小相減產(chǎn)生的高階無窮小”——
應(yīng)對手段:連續(xù)使用洛必達(dá)法則。
修練方法:利用五個常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,盡可能多記一些等價無窮小
分子分母是“不同階的無窮小的線性組合”,(無窮小多項(xiàng)式)——
應(yīng)對手段:(化零項(xiàng)法)分子分母同除以商式中的最低階的無窮小,各項(xiàng)分別取極限。
4、(每段是初等函數(shù)的)分段函數(shù)求導(dǎo),分界點(diǎn)處用定義計算,各段用法則與公式。老老實(shí)實(shí)地記與做,既簡明又少犯錯誤。
當(dāng)然,你可以懂得更細(xì)一點(diǎn)。可導(dǎo)一定連續(xù)。不連續(xù)必然不可導(dǎo)。連續(xù)是討論可導(dǎo)性的前提。
函數(shù)在點(diǎn)a可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。
在定義分界點(diǎn)a的一側(cè),比如右則。可以用定義求得右導(dǎo)數(shù)。同時,在右側(cè)這一段內(nèi),你用法則與公式求出了導(dǎo)函數(shù)。自然就會產(chǎn)生一個想法,能否以此求極限得到點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)。這是錘煉知識及思維細(xì)密性的好時機(jī)。
?。?)如果求極限,是求導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限。這個右極限存在嗎?
?。?)按照定義求右導(dǎo)數(shù)。“右導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限”是兩回事。
?。?)如果這個右極限存在,它和“右導(dǎo)數(shù)”相等嗎?
用拉格郎日公式可以證明,“如果導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限存在,則函數(shù)在點(diǎn)a的右導(dǎo)數(shù)一定存在,且兩者相等。”(一個好練習(xí)題?。?br />
左側(cè)可以類似討論。
結(jié)論:驗(yàn)證了分段函數(shù)在分界點(diǎn)a連續(xù)后,在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導(dǎo)。令x趨于a,分別求導(dǎo)函數(shù)的極限。若兩者相等,它就是函數(shù)在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)。若兩者不等,函數(shù)在點(diǎn)a不可導(dǎo)。
前提很清晰,這樣處理也可以。
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